Question

（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個不同點。

（1）求橢圓的方程；

（2）求m的取值范圍；

（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）略

【解析】解：（1）設橢圓方程為……………………………1分

則…………………………………………3分

∴橢圓方程為………………………………………………4分

（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m

又K_OM=

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可…………9分

設

則,

由

……………………………………………………10分

而

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.…………………………14分