Question

已知直線l₁過點B（0，-6）且與直線2x-3λy=0平行，直線l₂經過定點A（0，6）且斜率為-

2λ

3

，直線l₁與l₂相交于點P，其中λ∈R，
（1）當λ=1時，求點P的坐標．
（2）試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值，若存在，求出E、F的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當λ=1時，根據條件分別寫出兩直線的方程，聯立即可求得點P的坐標．
（2）由條件可得KPB×KPA=-

4

9

，由課本橢圓一節的例題可知，點P的軌跡是一個橢圓，求出其方程，再求出其焦點，即選為點E、F，則可滿足條件．

解答：解：（1）當λ=1時，直線2x-3λy=0即2x--3y=0，
∵l₁與此直線平行，∴可設直線l₁的方程為2x-3y+c=0，
又直線l₁過點B（0，-6），將其代入得0-3×（-6）+c=0，解得c=-18．∴直線l₁的方程為 2x-3y-18=0．
∵直線l₂經過定點A（0，6）且斜率為-

2λ

3

，即-

2

3

，∴直線l₂的方程為y-6=-

2

3

x，即2x+3y-18=0．
聯立

2x-3y-18=0 2x+3y-18=0

 解得

x=9 y=0

．即點P（9，0）．
（2）∵直線l₁與直線2x-3λy=0平行，∴當λ≠0時，直線l₁的斜率為

2

3λ

，
而直線l₂斜率為-

2λ

3

，又

2

3λ

×(-

2λ

3

)=-

4

9

．
設點P（x，y），則KPB×KPA=-

4

9

，于是

y+6

x

×

y-6

x

=-

4

9

（x≠0），化為

x2

81

+

y2

36

=1（x≠0）．
當λ=0時，直線l₁即為y軸，直線l₂即為y=6，
∴二直線交于點（0，6），
∴點P的軌跡為橢圓

x2

81

+

y2

36

=1（去掉點（0，-6））．
綜上可知：取點E（3

5

，0），F（-3

5

，0），則滿足|PE|+|PF|為定值．

點評：本題考查了直線與直線平行及相交以及橢圓的定義，理解和掌握以上知識與解題方法是解此題的關鍵．