Question

如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：;
(3)求二面角的正切值.

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）.

解析試題分析：本題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系、二面角、錐體體積等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算能力、推理論證能力.第一問(wèn)，求錐體體積，關(guān)鍵是找到錐體的高和底面面積；第二問(wèn)，先利用直線與平面的判定定理證出面，所以面內(nèi)的線段；第三問(wèn)，先利用直線與平面的判定定理證出面,所以面內(nèi)的線段，所以就找到了二面角的平面角，在直角三角形中求正切.
試題解析：(1)由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得，面，所以是三棱錐的高，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，, 所以,,　
                    2分
三棱錐的體積  4分
（2）

連結(jié),　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0f/3/1beyv4.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以
又面面，
所以         ６分
又　所以，面
面,　所以，       ８分
(3)　因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/e/dzdk.png" style="vertical-align:middle;" />面,面,所以,　
由（１）可知，,　
所以，面,　                  10分
面,　面
,　　
是二面角的平面角　
直角三角形中，　
二面角的正切值為      13分
解法（二）