Question

已知

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f(x)=

m

•

n

滿足f(

π

6

)=2，且f（x）的導函數f'（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，

π

2

]上總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，f(x)=

m

•

n

，我們可以求出函數的解析式，及導函數的解析式（含參數a，b），結合已知中，f(

π

6

)=2，導函數f'（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱，構造關于a，b的方程組，解方程組，即可求出a，b的值．
（II）若關于x的方程f（x）+log₂k=0在區間[0，

π

2

]上總有實數解，即f（x）=-log₂k有解，求出函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域B，再根據-log₂k∈B，構造關于k的對數方程，解方程即可求出答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=asin2x+bsinxcosx=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x
由f(

π

6

)=2得，a+

3

b=8①
∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱，∴f′(0)=f′(

π

6

)，
∴b=

3

2

a+

1

2

b，即b=

3

a②
由①、②得，a=2，b=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得

1

8

≤k≤1，即k∈[

1

8

，1]．

點評：本題考查的知識點是正弦型函數y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函數恒成立問題，數量積的坐標表達形式（1）的關鍵是根據已知條件，構造關于a，b的方程組，（2）的關鍵是求出函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域B．