Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
(2)令b_n＝，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n.證明：對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n<.

Answer 1

（1）a_n＝2n（2）見(jiàn)解析

(1)解：由－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0，
得[S_n－(n²＋n)](S_n＋1)＝0.
由于{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，所以S_n>0，S_n＝n²＋n.
于是a₁＝S₁＝2，n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋n－(n－1)²－(n－1)＝2n.
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n＝2n.
(2)證明：由于a_n＝2n，b_n＝，則b_n＝.
T_n＝
＝＝.
故對(duì)于任意的n∈N^*，都有T_n<.