Question

已知函數f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e為自然對數的底，a，b，c為常數，若函數f(x)在x=-2處取得極值，且

lim

x→0

f(x)-c

x

=-4．
（I）求實數b、c的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對函數求導，根據函數的極值，寫出函數的導數在2的結果是0，根據極限的值寫出關系式，得到b，c的值．
（II）函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，得到ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]時恒成立，轉化為函數的恒成立問題，分離參數，求函數的最值，只要大于最大值就可以．

解答：解：（I）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（b+2a）x+b+c]e^x
由f'（-2）=0
4a-2（b+2a）+b+c=0
b=c，
由

lim

x→0

f(x)-c

x

=4得到：f′(0)=4，所以b+c=4，
所以b=2，c=2；  
（II）由題意知道ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]時恒成立，
即a≥-

2x+4

x2+2x

在x∈[1，2]時恒成立，設g(x)=-

2x+4

x2+2x

，x∈[1，2]，
則g(x)=-

2

x

在區間[1，2]上單調遞增，所以g(x)的最大值為g(2)=-1，
所以a≥-1．

點評：本題看出函數在某一個點取得極值的條件，本題解題的關鍵是寫出函數的恒成立的等價條件，對函數進行變形，即分離參數．