Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）=ax³+bx²+cx+d圖象與y軸的交點(diǎn)為P，且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為24x+y-12=0，若函數(shù)在x=2處取得極值-16，試求函數(shù)解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：要確定解析式，即求a，b，c，d這四個(gè)參數(shù)，由f′（0）=c，且切線24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為解d，再由函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-16，解得a，b，從而求得解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)求單調(diào)區(qū)間．

解答：解：由y′=3ax²+2bx+c?f′（0）=c，
∵切線24x+y-12=0的斜率k=-24，
∴c=-24，把x=0代入24x+y-12=0得y=12．
得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，12），由此得d=12，
f（x）即可寫成f（x）=ax³+bx²-24x+12．
由函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-16，
則得

-16=8a+4b-36 0=12a+4b-24

解得

a=1 b=3.

∴f（x）=x³+3x²-24x+12，f′（x）=3x²+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2．
∴遞減區(qū)間為（-4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬中檔題．