Question

一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的主視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，E是PD的中點.
（1）求證:；
（2）求證:；             
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

（1）證明：依題意，該三視圖所對應的直觀圖為一側棱PA垂直于底面ABCD的四棱錐，且PA=AB=AD=1，四邊形ABCD為正方形；
分別連結AC、BD交于O，連結EO，∵E是PD的中點，∴PB∥EO，
又PB平面ACE，EO平面ACE，∴PB∥平面ACE。…………4分　
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
又PC平面PAC，PC⊥BD。…………9分　
（3）∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1，∴V_C—PAB=V_P—ACD=×S_ΔABC×PA=××1×1×1=。∴三棱錐C—PAB的體積為。…………14分