Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在x=1時取得極大值

5

2

，求實數a，b的值；
（2）在（1）條件下，求函數的最大值和單調遞增區間；
（3）若函數f（x）圖象上任意不同的兩點連線斜率小于1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則可得f′（x），由題意得：

f′(1)=-3+2a=0 f(1)=-1+a+b= 5 2

．解出并驗證即可；
（2）利用（1）及其f′（x）＞0即可得出其單調遞增區間，
（3）設點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）是f（x）圖象上兩不同點，不妨設x₁＜x₂，則kAB=

y1-y2

x1-x2

＜1，可化為f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．設g（x）=f （x）-x，則g（x）=-x³+ax²-x+b在R上單調遞減．即g'（x）=-3x²+2ax-1≤0在R上恒成立，利用二次函數的性質即可得出．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，由題意得：

f′(1)=-3+2a=0 f(1)=-1+a+b= 5 2

．解得

a= 3 2 b=2

．
經驗證f（x）在x=1時取得極大值．
∴

a= 3 2 b=2

．
（2）由（1）可知：f′（x）=-3x²+3x=-3x（x-1）．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜1．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，1）．
f（x）無最大值．
（3）設點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）是f（x）圖象上兩不同點，不妨設x₁＜x₂
則kAB=

y1-y2

x1-x2

＜1，∴y₁-y₂＞x₁-x₂，即y₁-x₁＞y₂-x₂
即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．
設g（x）=f （x）-x，則g（x）=-x³+ax²-x+b在R上單調遞減．
∴g'（x）=-3x²+2ax-1≤0在R上恒成立，
∴△=（2a）²-12≤0，解得-

3

≤a≤

3

．
∴實數a的取值范圍為[-

3

，

3

]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性極值與最值、恒成立問題等價轉化方法等是解題的關鍵．