Question

【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；

（2）求圖2中的點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由平行的傳遞性可證得，即可說明四點共面；由和直角梯形可知，利用線面垂直的判定定理可證得平面，進而，分別在直角梯形和直角梯形中由勾股定理求得和，再由勾股定理逆定理可知，從而平面，即可證得平面平面.

（2）計算等腰直角三角形中邊上的高，由線面平行的性質可知，點到平面的距離，分別計算三角形的面積和的面積，由等體積法構建方程，可求得點到平面的距離.

（1） 證明：因為正方形中，，梯形中，， 所以，

所以四點共面；

因為， 所以， 因為，

所以平面，

因為平面， 所以，

在直角梯形中，，可求得，

同理在直角梯形中，可求得，

又因為，

則，

由勾股定理逆定理可知，

因為， 所以平面，

因為平面，

故平面平面， 即平面平面.

（2）在等腰直角三角形中，邊上的高為1， 所以點到平面的距離等于1，

因為與平面平行， 所以點到平面的距離，

三角形的面積，

中，邊上的高為，

又因為的面積，

設點到平面的距離為，由三棱錐的體積，

得， 故點到平面的距離為.