Question

已知復數z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R）．
（1）在復平面中，若OZ₁⊥OZ₂（O為坐標原點，復數z₁，z₂分別對應點Z₁，Z₂），求a，b，c，d滿足的關系式；
（2）若|z₁|=|z₂|=1，|z₁-z₂|=

3

，求|z₁+z₂|．

Answer 1

分析：（1）由OZ₁⊥OZ₂ ，得

OZ1

•

OZ2

=0，即 ac+bd=0．
（2））根據（z₁-z₂ ）（

.

z1- z2

）=z1

.

z1

+z2

.

z2

-（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=3，求出（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=-1，再由
|z₁+z₂|²=（z₁+z₂ ）（

.

z1+z2

）=z1

.

z1

+z2

.

z2

+（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=1求出|z₁+z₂|的值．

解答：解：（1）由OZ₁⊥OZ₂ ，得

OZ1

•

OZ2

=0，即 ac+bd=0．----------6分
（2）∵（z₁-z₂ ）（

.

z1- z2

）=z1

.

z1

+z2

.

z2

-（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=|z₁-z₂|²=3，
即 1+1-（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=3，∴（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=-1，--------10分
∴|z₁+z₂|²=（z₁+z₂ ）（

.

z1+z2

）=z1

.

z1

+z2

.

z2

+（z1

.

z2

+

.

z1

z2 ）=1+1-1=1．
故|z₁+z₂|=1．------14分．

點評：本題主要考查復數的代數形式的表示法及其幾何意義，求復數的模，利用了z

.

z

=|z|2．