Question

【題目】已知四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=4，M為AB的中點，將△ADM沿DM折起，得到四棱錐A1﹣DMBC，設A1C的中點為N，在翻折過程中，得到如下有三個命題:①BN∥平面A1DM；②三棱錐N﹣DMC的最大體積為；③在翻折過程中，存在某個位置，使得DM⊥A1C.其中正確命題的序號為_____.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

分別延長DM，CB交于H，連接A1H，可證B為CH的中點，因此有BN∥A1H，可得①為正確；要使三棱錐N﹣DMC的體積最大，只需N到平面DMBC的距離最大，當平面A1DM⊥平面DMBC時滿足，可求得此時體積為，②正確；DM=CM=2，CD=4，

可得DM⊥MC，若DM⊥A1C，可證DM⊥A1M，與已知DM為斜邊矛盾，③錯誤.

對于①，分別延長DM，CB交于H，連接A1H，如圖所示;

由已知得，可得B為CH的中點，

可得BN為△A1CH的中位線，可得BN∥A1H，

BN平面A1DM，A1H平面A1DM，

可得BN∥平面A1DM∴①正確；

對于②，當平面A1DM⊥平面DMBC時，

A1到平面DMBC的距離最大，且為，

此時N到平面DMBC的距離最大，且為，

△DMC的面積為2×4=4，

可得三棱錐N﹣DMC的最大體積為4，

∴②正確；

對于③，若DM⊥A1C，又DM=CM=2，CD=4，

可得DM⊥MC，則DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，

這與DM為斜邊矛盾，∴③錯誤；

綜上，以上正確命題的序號為①②.

故答案為:①②.