Question

定義：兩個連續函數（圖象不間斷）f（x），g（x）在區間[a，b]上都有意義，我們稱函數|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數f（x）與g（x）在區間[a，b]上的“絕對和”．
（1）試求函數f（x）=x²與g（x）=x（x+2）（x-4）在閉區間[-2，2]上的“絕對和”．
（2）設h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定義在閉區間[1，3]上，記h_m（x）與f（x）的“絕對和”為D_m，如果D（m）的最小值是D（m₀），則稱f（x）可用hm0(x)“替代”，試求m₀的值，使f（x）可用hm0(x)“替代”．

Answer 1

分析：（1）令F（x）=f（x）+g（x），先討論滿足F′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，再將F（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值，即可求出所求；
（2）設?（x）=h_m（x）+f（x），根據二次函數的性質可知在閉區間[1，3]上，D（m）是|m-3|與|m-4|中較大者，然后求出D（m）的最小值時m的值即可．

解答：解：（1）令F（x）=f（x）+g（x）=x²+x（x+2）（x-4）=x³-x²-8x，
則F'（x）=3x²-2x-8=（3x+4）（x-2）．F（x），F'（x）隨x的值的變化情況如下表

由表可知F（x）的值域為[-12，

176

27

].
故|f（x）+f（x）|在[-2，2]上的最大值為12．
從而f（x）與g（x）在[-2，2]上的“絕對和”為12．
（2）設?（x）=h_m（x）+f（x）=-4x+m+x²=（x-2）²+m-4．
而?（1）=?（3）=m-3?∴D（m）是|m-3|與|m-4|中較大者．
∴D(m)=

|m-4|?(m＜ 7 2 ) |m-3|?(m≥ 7 2 )

∴當m=

7

2

時，D（m）最小，∴m0=

7

2

．
即m0=

7

2

時，f（x）可用hm0(x)“替代”

點評：本題立意比較新穎，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，屬于中檔題．