Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形均為全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設，求點到平面的距離.

Answer 1

（Ⅰ）證明過程詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：本題考查線面平行的判定以及二面角的求法.線面平行的判斷：①判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；②性質：如果兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面；③性質：如果兩條平行線中的一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面或在這個平面內；④性質：如果一條直線平行于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也平行于另一個平面或在這個平面內；⑤性質：如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.第一問是利用線面平行的判定定理證明；第二問是求點到平面的距離，先通過線面平行將點到面的距離轉化為點到面的距離，再利用等體積法求出幾何體的高，也就是點到面的距離.
試題解析：（Ⅰ）連結，由題意，可知，故四邊形是平行四邊形，所以．
又平面，平面，所以平面．           5分

（Ⅱ）設點到平面的距離為．
由（Ⅰ）知：，可得平面，
故點到平面的距離等于點到平面的距離，
所以，．
依題意，在中，，，，
因為，
所以．
在中，，又，
故點到平面的距離為．                                12分