Question

(1)設(shè)a、b分別是直線l₁、l₂的方向向量,根據(jù)下列條件判斷l₁與l₂的位置關(guān)系:

①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);

②a=(5,0,2),b=(0,4,0);

③a=(-2,1,4),b=(6,3,3).

(2)設(shè)u、v分別是平面α、β的法向量,根據(jù)下列條件判斷α、β的位置關(guān)系:

①u=(1,-1,2),v=(3,2,-);

②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);

③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1).

(3)設(shè)u是平面α的法向量,a是直線l的方向向量,根據(jù)下列條件判斷α和l的位置關(guān)系:

①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);

②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);

③u=(4,1,5),a=(2,-1,0).

Answer 1

解：(1)①因?yàn)閍=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),所以a=-b.

所以a∥b.所以l₁∥l₂.

②因?yàn)閍=(5,0,2),b=(0,4,0),所以a·b=0.

所以a⊥b.所以l₁⊥l₂.

③因?yàn)閍=(-2,1,4),b=(6,3,3),所以a與b不共線,也不垂直,所以l₁與l₂的位置關(guān)系是相交或異面.

(2)①因?yàn)閡=(1,-1,2),v=(3,2,-),所以u(píng)·v=3-2-1=0.所以u(píng)⊥v.所以α⊥β.

②因?yàn)閡=(0,3,0),v=(0,-5,0),

所以u(píng)=-v.所以u(píng)∥v.所以α∥β.

③因?yàn)閡=(2,-3,4),v=(4,-2,1),

所以u(píng)與v既不共線,也不垂直.

所以平面α和β相交(不垂直).

(3)①因?yàn)閡=(2,2,-1),a=(-3,4,2),所以u(píng)·a=-6+8-2=0.所以u(píng)⊥a.所以直線l和平面α的位置關(guān)系是lα或l∥α.

②因?yàn)閡=(0,2,-3),a=(0,-8,12),所以u(píng)=-a.所以u(píng)∥a.所以l⊥α.

③因?yàn)閡=(4,1,5),a=(2,-1,0),所以u(píng)和a不共線也不垂直,所以l與α相交(斜交).

綠色通道：

第(1)小題直線方向向量與直線位置關(guān)系間的內(nèi)在聯(lián)系是:l₁∥l₂a∥b,l₁⊥l₂a⊥b,據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系;第(2)小題平面法向量與兩平面位置關(guān)系間的內(nèi)在聯(lián)系是:α∥βu∥v,α⊥βu⊥v,據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系;第(3)小題直線方向向量與平面法向量的關(guān)系和直線與平面位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系是:l∥αa⊥u,l⊥αa∥u.解答上述三類問題的關(guān)鍵:一是要搞清直線方向向量、平面法向量和直線、平面位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系,二是要熟練掌握判斷兩向量共線、垂直等的重要條件.