Question

（本小題滿分13分）已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點為,過點作直線交橢圓于另一點．

（1）若,求外接圓的方程;

（2）若過點的直線與橢圓相交于兩點、，設為上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1），；

（2），或．

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數的關系．第五步：根據題設條件求解問題中結論．

試題解析：【解析】
（1）由題意知：，，又，

解得：橢圓的方程為： 2分

可得：，,設，則，，

，，即

由，或

即，或 4分

①當的坐標為時，，外接圓是以為圓心，為半徑的圓，即 5分

②當的坐標為時，，，所以為直角三角形，其外接圓是以線段為直徑的圓，圓心坐標為，半徑為，

外接圓的方程為

綜上可知：外接圓方程是，或 7分

（2）由題意可知直線的斜率存在．

設，，，

由得：

由得：（） 9分

，即

，結合（）得： 11分

，

從而，

點在橢圓上，，整理得：

即，，或 13分

考點：1、求三角形的外接圓方程；2、直線與橢圓的綜合問題．