Question

 （2010屆棗莊市第一次調研）

已知函數f（x）對任意的實數x、y都有f（x+y） =f（x）+f（y）-1,且當x>0 時,f（x）＞1．

   （1）求證：函數f（x）在R上是增函數；

   （2）若關于x的不等式的解集為{x|-3＜x＜2＝，求f（2009）的值；

   （3）在（2）的條件下，設,若數列從第k項開始的連續20項 之和等于102，求k的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）證明：設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，從而f（x₁-x₂）>1,即f（x₁-x₂）-1＞0． ………2分

,

故f（x）在R上是增函數．…4分

   （2）設2 =f（b），于是不等式為．

則,即．………6分

∵不等式f（x² -ax +5a） <2的解集為{x|-3<x<2}，

∴方程x²-ax+5a-b=0的兩根為-3和2,

于是,解得∴f（1）＝2． ………8分

在已知等式中令x=n,y=1,得f（n+1）-f（n） =1．

所以{f（n）}是首項為2,公差為1的等差數列．

f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010． ………10分

   （3） ．

設從第k項開始的連續20項之和為T_k，則．

當k≥13時，a_k=|k-13|=k-13，T_k≥T₁₃=0＋1＋2＋3＋…＋19=190＞102．       （11分）

當k<13時，a_k=|k-13|＝13-k．

T_k=（13-k）+（12一k）＋…＋1＋0＋1＋…＋（k＋6）=k²一7k＋112．

令kk＋112＝102，解得k=2或k＝5． ………14分

（注：當k≥13時，a_k=|k一13|=k一13，令,無正整數解．得11分）