Question

如果(x+x

x

)n的展開式中所有奇數項的系數和等于512，則展開式的中間項是（　　）

• A、C₁₀⁶x⁸
• B、

  C

  5 10

  x7

  x

• C、C₈⁴x⁶
• D、

  C

  6 11

  x8

  x

Answer 1

分析：根據二項式定理所有奇次項的系數c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得到n的值，然后利用二項式定理找到展開式的中間項即可．

解答：解：根據二項式定理所有奇次項的系數c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）
=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得：2^n-1=512，∴n=10，即(x+x

x

)10，所以第六項為中間項，
則根據二項式定理得：中間項為T6=

C

5 10

x5(

x

)5=

C

5 10

x7

x

.
故選B

點評：考查學生會利用二項式定理解決數學問題的能力．理解展開式中所有奇數項的系數之和等于所有偶數項的系數之和且兩者相加等于2ⁿ．