Question

傾斜角為α的直線經過拋物線y²=8x的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點．
（1）若|AF|，4，|BF|成等差數列，求直線AB的方程；
（2）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交于x軸于點P，試證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）解1：由|AF|，4，|BF|成等差數列，知|AF|+|BF|=8=|AB|．由y²=8x，知焦點F為（2，0）．設AB的方程為：x=my+2，得y²-8my-16=0，由韋達定理和弦長公式能求出直線AB方程．
解2：令A（x₁•y₁），B（x₂•y₂），則|AF|=x₁+2|BF|=x₂+2，所以線段AB的中點的橫標為

x1+x2

2

=2．直線AB過焦點F（2，0），由此能求出直線AB方程．
（2）由已知令直線AB的方程為y=tanα•（x-2），由

y=tanα•(x-2) y2=8x

得：x²tam²α-4（tan²α+2）x+4tan²α=0∴x₁+x₂=

4(tan2α+2)

tanα

y₁+y₂=tanα•（x₁+x₂-4）=

8tanα

tan2α

=

8

tanα

，所以AB中線m的方程為：y-

4

tanα

=-

1

tanα

(x-

2tan2α+4

tan2α

)，由此能夠證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并能求出此定值．

解答：（1）解法一：∵|AF|，4，|BF|成等差
∴|AF|+|BF|=8=|AB|
∵y²=8x
∴焦點F為（2，0）
設AB的方程為：x=my+2
則由：

y2=8x x=my+2

⇒y2=8（my+2）
得　y²-8my-16=0
∴y₁+y₂=8m，y₁•y₂=-16
∴弦長|AB|=

1+m2

•|y1-y2|
=

1+m2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+m2

•

64m2+64

=8(1+m2)=8
∴m=0
∴直線AB方程為x=2．
解法二：令A（x₁•y₁），B（x₂•y₂），
則|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2
∴|AF|+|BF|=x₁+x₂+4=8
即x₁+x₂=4
∴線段AB的中點的橫標為

x1+x2

2

=2
而直線AB過焦點F（2，0），
∴直線AB垂直x軸
即AB方程為x=2．
（2）證明：由已知令直線AB的方程為y=tanα•（x-2），則
由

y=tanα•(x-2) y2=8x

得：
∴x²tanα-4（tan²α+2）x+4tan²α=0，
∴x₁+x₂=

4(tan2α+2)

tanα

y₁+y₂=tanα•（x₁+x₂-4）=

8tanα

tan2α

=

8

tanα

∴AB的中點為(

2(tan2α+2)

tan2α

，

4

tanα

)．
∴AB中垂線m的方程為：y-

4

tanα

=-

1

tanα

(x-

2tan2α+4

tan2α

)
令　y=0得：x=6+

4

tan2α

∴|PF|=|x-2|=4+

4

tan2α

∴|PF|-|PF|•cos2α=|PF|（1-cos2α）=2|PF|•sin²α
=8(1+

1

tan2α

)•sin2α=8×(1+

cos2α

sin2α

)•sin2α
=8．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意韋達定理和弦長公式的靈活運用．