Question

已知實數m為非零常數，且f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）為奇函數．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區間（1，+∞）上的單調性，并用單調性定義加以證明；
（3）當x∈（b，a）時，函數f（x）的值域為（1，+∞），請確定實數a與b的取值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）為奇函數，根據奇函數的定義可得f（-x）+f（x）=0，進而求出非零m的值；
（2）x₁，x₂是區間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，可得1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

＞1，分當0＜a＜1時和當a＞1時兩種情況，結合復合函數的單調性，可證明函數的單調性；
（3）由函數解析式求出函數的定義域，結合（2）中函數的單調性，進而根據當x∈（b，a）時，函數f（x）的值域為（1，+∞），可得f（a）=1且

lim

x→b

(1+

2

x-1

)=+∞，解方程可求出a，b的值．

解答：解：（1）若函數f（x）=loga(1+

m

x-1

)（a＞0且a≠1）為奇函數
故f（-x）+f（x）=loga(1+

m

-x-1

)+loga(1+

m

x-1

)=loga[(1+

m

x-1

)(1+

m

-x-1

)]=loga[

-x2+(m-1)2

1-x2

]=0
即

-x2+(m-1)2

1-x2

=1，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）=loga(1+

2

x-1

)=loga(

x+1

x-1

)，
當0＜a＜1時，函數在區間（1，+∞）上為增函數
當a＞1時，函數在區間（1，+∞）上為減函數，理由如下：
令x₁，x₂是區間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

＞1
則f（x₁）-f（x₂）=loga(

x1+1

x1-1

)-loga(

x2+1

x2-1

)=loga(

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

)=loga[1+

2(x2-x1)

(x1-1)•(x2+1)

]
當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數在區間（1，+∞）上為增函數
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數在區間（1，+∞）上為減函數
（3）由（1）得f（x）=loga(

x+1

x-1

)的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
當0＜a＜1時，（b，a）?（-∞，-1）∪（1，+∞），此時函數的解析式無意義；
當a＞1，若函數的解析式有意義，則1≤b＜a，
由（2）可得，此時函數在（b，a）上為減函數
若函數f（x）的值域為（1，+∞）
則f（a）=1，
即loga(

a+1

a-1

)=1
即

a+1

a-1

=a
解得a=1+

2

且

lim

x→b

(1+

2

x-1

)=+∞
解得b=1
綜上，a=1+

2

，b=1

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，函數的值域，熟練掌握函數奇偶性和函數單調性的定義是解答的關鍵．