Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間 上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinxcosx= sin2x，cos2x= （1+cos2x）

∴f（x）=﹣ sin（2x+ ）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1

=2sin2x﹣2cos2x=2 sin（2x﹣ ）

因此，f（x）的最小正周期T= =π；

（2）解：∵0≤x≤ ，∴﹣ ≤2x﹣ ≤

∴當(dāng)x=0時(shí)，sin（2x﹣ ）取得最小值﹣ ；當(dāng)x= 時(shí)，sin（2x﹣ ）取得最大值1

由此可得，f（x）在區(qū)間 上的最大值為f（ ）=2 ；最小值為f（0）=﹣2．

【解析】（1）利用兩角和的正弦公式將sin（2x+ ）展開，結(jié)合二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)得f（x）=2 sin（2x﹣ ），最后利用正弦函數(shù)的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（2）根據(jù)x∈ ，得﹣ ≤2x﹣ ≤ ．再由正弦函數(shù)在區(qū)間[﹣ ， ]上的圖象與性質(zhì)，可得f（x）在區(qū)間 上的最大值為與最小值．
【考點(diǎn)精析】利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的正弦公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．