Question

（1）已知f（x）=（x-5）⁷+（x-8）⁵=a+a₁（x-6）+a₂（x-6）²+…+a₇（x-6）⁷，求a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇的值．
（2）在二項式的展開式中，各項系數和為A，各二項式系數和為B，且A+B=72，求含式中含的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=7，即可求得a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇的值．
（2）依題意，4ⁿ+2ⁿ=72，可求得n=3，再利用二項展開式的通項公式即可求得中含的項．
解答：解：（1）∵f（x）=（x-5）⁷+（x-8）⁵=a+a₁（x-6）+a₂（x-6）²+…+a₇（x-6）⁷，
∴f（7）=（7-5）⁷+（7-8）⁵=a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇，
∴a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇=2⁷-1=128-1=127；
（2）∵A=4ⁿ，B=2ⁿ，A+B=72，
∴4ⁿ+2ⁿ=72，
∴2ⁿ=8或2ⁿ=-9（舍去），
∴n=3．
∴=，
設的通項為T_r+1，則T_r+1=••（-3）^r•x^-r=（-3）^r••，
令3-=得r=1．
∴T₂=-3•=-18．
點評：本題考查二項式定理的應用，考查二項式系數的性質，考查賦值法的應用，屬于中檔題．