Question

【題目】已知A（x0 ， 0），B（0，y0）兩點分別在x軸和y軸上運動，且|AB|=1，若動點P（x，y）滿足 ．
（1）求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程；
（2）一條縱截距為2的直線l1與曲線C交于P，Q兩點，若以PQ直徑的圓恰過原點，求出直線方程；
（3）直線l2：x=ty+1與曲線C交于A、B兩點，E（1，0），試問：當t變化時，是否存在一直線l2 ， 使△ABE的面積為 ？若存在，求出直線l2的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，

即 ，

所以 ，

所以

又因為|AB|=1，所以 ，

即： ，

即 ，

所以橢圓的標準方程為 ．

（2）解：直線l1斜率必存在，且縱截距為2，設直線為y=kx+2聯立直線l1和橢圓方程 ，

得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，

由△＞0，得 （*），

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 （1）

以PQ直徑的圓恰過原點，

所以OP⊥OQ， ，

即x1x2+y1y2=0，

也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，

即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，

將（1）式代入，得 ﹣ +4=0，

即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，

解得 ，滿足（*）式，

所以 ．

所以直線方程為y=± x+2

（3）解：由方程組 ，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則

所以 ，

因為直線l：x=ty+1過點F（1，0），

所以S△ABE= |EF||y1﹣y2|= ×2× =

令= =2 ，則 不成立

故不存在直線l滿足題意

【解析】（1）根據向量的坐標運算，以及|AB|=1，得到橢圓的標準方程為 ．（2）直線l1斜率必存在，且縱截距為2，根據直線與橢圓的位置關系，即可求出k的值，問題得以解決．（3）根據直線和橢圓額位置關系，以及三角形的面積公式得到S△ABE= ，令= =2 ，則 不成立，問題得以解決．