Question

過點P（1，0）作曲線C：y=x³（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q₁，過Q₁作x軸的垂線交x軸于點P₁，又過P₁作曲線C的切線，切點為Q₂，過Q₂作x軸的垂線交x軸于點P₂，…，依次下去得到一系列點Q₁，Q₂，Q₃，…，設點Q_n的橫坐標為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）①求和；
②求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，若切點是，則切線方程為，根據當n=1時，切線過點P（1，0），即，從而可得，當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），即，從而可得，進而可知數列{a_n}是首項為，公比為的等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）①根據，利用錯誤相減法即可求S；
②證法1：利用二項式定理進行證明；證法2：用數學歸納法
解答：（1）解：∵y=x³，∴y'=3x²，
若切點是，則切線方程為，…（1分）
當n=1時，切線過點P（1，0），即，因為a₁＞0，所以，…（2分）
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），即，
依題意a_n＞0，所以，
所以數列{a_n}是首項為，公比為的等比數列，所以；  …（4分）
（2）①解：記，因為，
所以，…（5分）
兩式相減，得===，…（7分）
∴==；     …（9分）
②證法1：=．                             …（13分）
證法2：當n=2時，，…（10分）
假設n=k時，結論成立，即，
則，
即n=k+1時，，…（12分）
綜上，對n≥2，n∈N^*都成立．                   …（13分）
點評：本題考查導數的幾何意義，考查數列的求和與不等式的證明，解題的關鍵是確定數列的通項，根據通項的特點利用錯位相減法．