Question

【題目】如圖（1），在平行四邊形中， , 分別為的中點(diǎn).現(xiàn)把平行四邊形沿折起，如圖（2）所示，連結(jié).

（1）求證: ；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明平面，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出二面角的余弦值.

試題解析：（1）由已知可得，四邊形, 均為邊長(zhǎng)為的菱形，且.在圖 （1）中，取中點(diǎn), 連結(jié)，故是等邊三角形，所以，同理可得， , 又因?yàn)?/span>，所以平面, 又因?yàn)?/span>平面, 所以.

（2）由已知得, , 所以, 故.如圖（2），分別以

為軸， 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得,設(shè)平面的法向量, 由, 得, 令, 得, 所以平面的法向量為, 設(shè)平面的法向量

, 由, 得, 令,得, 所以平面的法向量為, 于是,因?yàn)槎�面�?/span>的平面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.