Question

【題目】函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，且滿足對于定義域內任意的x1 ， x2都有等式f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（1）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明．
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，解關于x的不等式f（3x+1）+f（﹣6）≤3．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x1=x2 =1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）解：令x1 =x2 =﹣1，則f（﹣1）=0，令x1 =﹣1，x2 =x，可得f（﹣x）=f（x），

又定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，∴f（x）為偶函數

（3）解：∵f（4）=1，又f（x1 x2 ）=f（x1 ）+f（x2），

∴f（4）+f（4）=f（4×4）=f（16），

∴f（16）+f（4）=f（16×4）=f（64），

∴f（64）=f（4）+f（4）+f（4），∴f（64）=3．

∴f（3x+1）+f（﹣6）≤3，等價于f[﹣6（3x+1）]≤3，

∴f（|﹣6（3x+1）|）≤f（64），

∴|﹣6（3x+1|≤3 且3x+1≠0，

解得x∈[﹣ ，﹣ ）∪（﹣ ， ]

【解析】（1）令x1=x2 =1，可得f（1）的值．（2）令x1 =x2 =﹣1，求得f（﹣1）=0，令x1 =﹣1，x2 =x，可得f（﹣x）=f（x），從而得出結論．（3）由題意可得不等式等價于f[﹣6（3x+1）]≤3，即f（|﹣6（3x+1）|）≤f（64），故有|﹣6（3x+1|≤3，且3x+1≠0，由此求得x的范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的性質和函數的奇偶性，需要了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．