Question

已知函數f（x）=2x²+mx+n，求證|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于1．

Answer 1

分析：由條件求得f（1）+f（3）-2f（2）=4．假設|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于1，可以推出-4＜f（1）+f（3）-2f（2）＜4，這與f（1）+f（3）-2f（2）=4 相矛盾，
故假設不成立，命題得證．

解答：解：∵函數f（x）=2x²+mx+n，f（1）=2+m+n，f（2）=8+2m+n，
f（3）=18+3m+n，故有 f（1）+f（3）-2f（2）=4．
假設|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于1，
則-1＜f（1）＜1，-1＜f（2）＜1，-1＜f（3）＜1．
∴-4＜f（1）+f（3）-2f（2）＜4．
這與f（1）+f（3）-2f（2）=4 相矛盾，故假設不成立，
即|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于1．

點評：本題主要考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點，反證法是一種從反面的角度思考問題的證明方法，體現的原則是正難則反．反證法的基本思想：否定結論就會導致矛盾，證題模式可以簡要的概括為
“否定→推理→否定”．實施的具體步驟是：
第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；
第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立．