Question

函數f（x）的定義域為（0，+∞），且對一切x＞0，y＞0，都有 f（

x

y

）=f（x）-f（y），當x＞1時，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調性并證明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）利用單調性的定義，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后，判斷符號即可；
（3）依題意，由f（6）=1⇒f（36）=2，于是f（x+3）-f （

1

x

）＜2?f（x²+3x）＜f（36）?

x+3＞0 1 x ＞0 x2+3x＜36

，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
∵x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，故f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）因為f（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由f（x+3）-f （

1

x

）＜2，得f（x²+3x）＜f（36），
所以

x+3＞0 1 x ＞0 x2+3x＜36

即

x＞-3 x＞0 -3-3 17 2 ＜x＜ -3+3 17 2

解得：0＜x＜

3 17 -3

2

．
所以原不等式的解集為（0，

3 17 -3

2

）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性的證明，考查不等式的解法，屬于中檔題．