Question

在中，已知，兩邊所在的直線分別與軸交于兩點，且.

（I）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）若，

①試確定點的坐標；

②設是點的軌跡上的動點，猜想的周長最大

時點的位置，并證明你的猜想．

Answer 1

（I）如圖，設點，，由三點共線，

，．                …………………2分

同理，由B、C、F三點共線可得 .                 …………………4分

∵，∴,

化簡，得點的軌跡方程為.…………………6分（若沒有注明則扣1分）

（Ⅱ）若，

①設，

∴.

∴，．

代入， 得．∴，即為橢圓的焦點．  …………………10分

②猜想：取，設是橢圓左焦點，則當點位于直線與橢圓的交點處時，

周長最大，最大值為8．

證明如下：

∴的周長                            …………………14分