Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直l與C相交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為D。 （1）證明：點F在直線BD上；
（2）設=，求△BDK的內切圓M的方程。

Answer 1

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程為x=my-1（m≠0）
將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0
從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4   ①
直線BD的方程為
即
令y=0，得
所以點F（1，0）在直線BD上；
（2）由①知，x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1
因為
（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²
故8-4m²=，解得m=
所以l的方程為3x+4y+3=0，3x-4y+3=0
又由①知
故直線BD的斜率
因而直線BD的方程為
因為KF為∠BKD的平分線，故可設圓心M（t，0）（-1＜t＜1），M（t，0）到l及BD的距離分別為
，由得或t=9（舍去）
故圓M的半徑
所以圓M的方程為。