Question

已知設數列{b_n}的前n項和為S_n，且b_n=2-S_n；數列{a_n}為等差數列，且a₅=9，a₇=13．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n∈N^*），T_n為數列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知遞推公式令n=1，可求b₁，當n≥2時，可得b_n-1=2-s_n-1，兩式相減可得b_n與b_n-1之間的遞推關系，結合等比數列的通項公式即可求解
（II）由等差數列的通項公式可求a_n，代入可求c_n，代入然后利用錯位相減即可求解

解答：解：（Ⅰ）由b_n=2-S_n，令n=1，則b₁=2-S₁，又S₁=b₁，所以b₁=1，…（1分）
當n≥2時，由bn=2-Sn，可得bn-bn-1=-(Sn-

S

n-1

)=-bn，…（3分）
即

bn

bn-1

=

1

2

，…（4分）
所以{bn}是以b1=1為首項，

1

2

為公比的等比數列，于是bn=

1

2n-1

…（6分）
（Ⅱ）數列{a_n}為等差數列，公差d=

1

2

(a7-a5)=2，可得an=2n-1，…（8分）
從而cn=an•bn=(2n-1)•

1

2n-1

，…（9分）
∴Tn=1+

3

2

+

5

22

+

7

23

…+

2n-1

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

兩式相減可得，

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=1+2•

1 2 •(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．…（11分）
從而Tn=6-

2n+3

2n-1

．…（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解通項公式，等差數列的性質及通項公式的應用，數列的錯位相減求和方法的應是求解（II）的關鍵