Question

如圖，設P是單位圓和x軸正半軸的交點，M、N是單位圓上的兩點，O是坐標原點，∠POM=

π

3

，∠PON=α，α∈[0，π），f(α)=

OM

•

ON

，則f（a）的范圍為（　　）

• A、(-

  1

  2

  ，1]
• B、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )
• C、[-

  1

  2

  ，1)
• D、(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：根據M、N是單位圓上的兩點，∠POM=

π

3

，∠PON=α，以及三角函數的定義寫出點N，M的坐標，求出

OM

、

ON

，并代入f(α)=

OM

•

ON

，利用三角恒等變形，化簡為sin（α+

π

6

），要求f(α)=

OM

•

ON

的范圍，只需求sin（α+

π

6

），在區間[0，π）上的最值即可．

解答：解：∵M、N是單位圓上的兩點，∠POM=

π

3

，∠PON=α，
∴M（

1

2

，

3

2

），N（cosα，sinα），
∴

OM

=（

1

2

，

3

2

），

ON

=（cosα，sinα），
∴f(α)=

OM

•

ON

=

1

2

cosα+

3

2

sinα=sin（α+

π

6

），
∵α∈[0，π），
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
∴sin（α+

π

6

）∈(-

1

2

，1]．
故選A．

點評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應用，同時考查了三角函數的定義和向量的數量積的坐標運算，三角函數在區間上的最值問題，體現了轉化的思想，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．