Question

已知函數f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．
（1）設a=1，求函數f（x）的極值；
（2）若a＞

1

4

，且當x∈[1，4a]時，|f′（x）|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入，找出導函數為0的自變量，看在自變量左右兩側導函數的符號來求極值即可．
（2）轉化為求導函數的絕對值在x∈[1，4a]上的最大值即可．

解答：解：（1）當a=1時，對函數f（x）求導數，得f′（x）=3x²-6x-9．
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3．
列表討論f（x），f′（x）的變化情況：

所以，f（x）的極大值是f（-1）=6，極小值是f（3）=-26．
（2）f′（x）=3x²-6ax-9a²的圖象是一條開口向上的拋物線，關于x=a對稱．
若

1

4

＜a≤1，則f′（x）在[1，4a]上是增函數，
從而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，最大值是f′（4a）=15a²．
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，于是有（1）=3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a．
由f′（1）≥-12a得-

1

3

≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤

4

5

.
所以a∈(

1

4

，1]∩[-

1

3

，1]∩[0，

4

5

]，即a∈(

1

4

，

4

5

]．
若a＞1，則∵|f′（a）|=15a²＞12a．故當x∈[1，4a]時|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范圍是(

1

4

，

4

5

].

點評：本題涉及到利用導函數求極值．利用導函數求極值時，須先求導函數為0的根，再根據導函數為0的根左右兩側的符號來求極大值和極小值．