Question

已知圓C：x²+y²+2x-8y+9=0．
（I）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．
（II）從圓C外一點P（x₀，y₀）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

分析：（I）由已知中圓C：x²+y²+2x-8y+9=0，圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，由于原點在圓內，可得切線的斜率為-1，進而求出切線的方程．
（II）由從圓C外一點P（x₀，y₀）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，可當|PM|取得最小值時，PC與直線2x-8y+9=0垂直，進而得到點P的坐標．

解答：解：（I）⊙C的方程化為：（x+1）²+（y-4）²=8，顯然O（0，0）在圓外．
若截距相等且不為0，可設切線l的方程為：

x

a

+

y

a

=1，即：x+y-a=0．
則圓心C（-1，4）到切線l的距離為：d=

|-1+4-a|

2

=

|a-3|

2

=2

2

∴|a-3|=4
即：a=7或a=-1．
此時切線l的方程為：x+y-7=0，或x+y+1=0．
當截距相等且均為0時，可設切線l的方程為：y=kx，即kx-y=0．
則圓心C（-1，4）到切線l的距離為：d=

|-k-4|

k2+1

=2

2

∴7k²-8k-8=0，得：k=

8± 64+4•7•8

14

=

4±6 2

7

∴此時，切線的方程為y=

4+6 2

7

x或y=

4-6 2

7

x
綜上，切線的方程為：x+y-7=0，或x+y+1=0，或y=

4+6 2

7

x或y=

4-6 2

7

x
（II）依題意，|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x₀+1）²+（y₀-4）²-（2

2

）²，
由|PM|=|PO|，
∴（x₀+1）²+（y₀-4）²-（2

2

）²=x₀²+y₀²，
即：2x₀-8y₀+9=0
即，點P的軌跡方程為：2x-8y+9=0．…10分
只有當PC與直線2x-8y+9=0垂直時，切線PM的長最小．
此時可設切線的方程為8x+2y+c=0，將C（-1，4）代入，可得c=0．
由

2x-8y+9=0 4x+y=0

即

x=- 9 34 y= 18 17

即P坐標為（-

9

34

，

18

17

）…13分．

點評：本題考查的知識點是圓的切線方程，點到直線的距離公式，其中熟練掌握切線在x軸和y軸上的截距相等的意義是解答本題的關鍵．