Question

（本小題共14分）

如圖，在四面體中，點分別是棱的中點。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：四邊形為矩形；
（Ⅲ）是否存在點，到四面體六條棱的中點  的距離相等？說明理由。

Answer 1

略

：證明：（Ⅰ）因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE//PC。又因為DE平面BCP，所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因為D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四邊形DEFG為平行四邊形，
又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形。
（Ⅲ）存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設Q為EG的中點
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.
分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。
與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線點為EG的中點Q，
且QM=QN=EG，所以Q為滿足條件的點.