Question

設f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x（a∈R）．
（1）若x=1是函數f（x）的極大值點，求a的取值范圍；
（2）若在x∈[1，3]上至少存在一個x₀，使f（x₀）≥2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導數，根據x=1是f （x）的極大值點，令導函數等于0的另一個根大于極大值點x=1，列出不等式，求出實數a的取值范圍．
（2）問題等價于（f（x））_max≥2，下面對a進行分類討論：①當a＞2時，②當a≤2時，分別求得a的取值范圍，最后由①②綜合得出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]，令f'（x）=0，則x=1或a-1．
當a＞2時，f（x）在（-∞，1）單調遞增，（1，a-1）單調遞減，（a-1，+∞）單調遞增，所
以x=1是函數f（x）的極大值點；
當a=2時，f（x）在（-∞，+∞）單調遞增，所以不存在極值點；
當a＜2時，在（-∞，a-1）單調遞增，（a-1，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增．
所以x=1是函數f（x）的極小值點；
綜上所述，使x=1為函數f（x）的極大值點，則a＞2；…（7分）
（2）問題等價于（f（x））_max≥2
①當a＞2時，f（x）在x∈[1，3]上的最大值f（x）_max=max{f（1），f（3）}，f(1)=

a

2

-

2

3

，f(3)=-

3a

2

+6，
當

f(1)≥f(3) f(1)≥2 a＞2

⇒

a 2 - 2 3 ≥- 3a 2 +6 a 2 - 2 3 ≥2 a＞2

⇒

a≥ 10 3 a≥ 16 3 a＞2

⇒a≥

16

3

；
當

f(1)＜f(3) f(3)≥2 a＞2

⇒

a 2 - 2 3 ＜- 3a 2 +6 - 3a 2 +6≥2 a＞2

⇒

a＜ 10 3 a≤ 8 3 a＞2

⇒2＜a≤

8

3

所以a≥

16

3

或2＜a≤

8

3

，…（12分）
②當a≤2時，f（x）在x∈[1，3]上單調遞增，f(x)max=f(3)=-

3a

2

+6≥2
得a≤

8

3

且a≤2，所以a≤2…（14分）
由①②知：a的取值范圍是a≥

16

3

或a≤

8

3

…（15分）

點評：利用導數求函數的極值時，令導數等于0，然后判斷根左右兩邊的導函數符號，導函數符號先正后負，根為極大值；導函數符號先負后正，根為極小值．