Question

（2013•嘉興二模）一個袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個，從中任取3個球，記隨機變量X為取出3球中白球的個數，已知P(X=3)=

5

21

．
（Ⅰ）求袋中白球的個數；
（Ⅱ）求隨機變量X的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析：（I）設袋中有白球n個，利用古典概型的概率計算公式即可得到P（X=3）=

C 3 n

C 3 9

，解出即可；
（II）由（I）可知：袋中共有3個黑球，6個白球．隨機變量X的取值為0，1，2，3．利用超幾何分布P（X=k）=

C 3-k 3 C k 6

C 3 9

（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設袋中有白球n個，則P(X=3)=

C 3 n

C 3 9

=

5

21

，
即

n(n-1)(n-2)

9×8×7

=

5

21

，解得n=6．
故袋中白球的個數為6；
（Ⅱ）由（I）可知：袋中共有3個黑球，6個白球．
隨機變量X的取值為0，1，2，3．
則P（X=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（X=1）=

C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

3

14

，P（X=2）=

C 1 3 C 2 6

C 3 9

=

15

28

，P（X=3）=

5

21

．
隨機變量X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

E(X)=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2．

點評：熟練掌握古典概型的概率計算公式和超幾何分布的概率計算公式是解題的關鍵．