Question

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓與圓的4個交點(diǎn)恰為一個正方形的4個頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)， 為橢圓上與不重合的兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之和為，試判斷是否存在定點(diǎn)，使得直線恒過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在定點(diǎn)，使得直線恒過點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接根據(jù)已知條件得到關(guān)于a,b的一個方程組，再解方程組即可. (2)第（2）問，對直線的斜率分兩種情況討論.每一種情況都要先根據(jù)已知條件求直線DE的方程，再判斷其方程是否過定點(diǎn).

試題解析：

（1）因?yàn)闄E圓的離心率，

所以，即，

因?yàn)闄E圓與圓的4個交點(diǎn)恰為一個正方形的4個頂點(diǎn)，

所以直線與圓的一個交點(diǎn)在橢圓上，所以，

由解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

代入得， ，

所以，即.

設(shè)，則，

因?yàn)橹本�與直線的斜率之和為，所以 ，

整理得，所以直線的方程為，

顯然直線經(jīng)過定點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，

因?yàn)橹本�與直線的斜率之和為，設(shè)，則，

所以，解得，

此時直線的方程為，顯然直線經(jīng)過定點(diǎn).

綜上，存在定點(diǎn)，使得直線恒過點(diǎn).