Question

在平面直角坐標系上，設不等式組（）

所表示的平面區域為，記內的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為.

（Ⅰ）求并猜想的表達式再用數學歸納法加以證明；

（Ⅱ）設數列的前項和為，數列的前項和,是否存在自然數m？使得對一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ），，，＝3n ，（Ⅱ）滿足題設的自然數m存在，其值為0

解析:

（Ⅰ）當n＝1時，D₁為Rt△OAB₁的內部包括斜邊，這時，

        當n＝2時，D₂為Rt△OAB₂的內部包括斜邊，這時，

        當n＝3時，D₃為Rt△OAB₃的內部包括斜邊，這時，……， ---3分

由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分

下面用數學歸納法證明:

當n＝1時，猜想顯然成立。

假設當n＝k時，猜想成立，即，（） ----5分

如圖，平面區域為Rt內部包括斜邊、平面區域為

Rt△內部包括斜邊，∵平面區域比平面區域多3

個整點， ------- 7分            

 即當n＝k+1時，，這就是說當n＝k+1時，

猜想也成立，

由（1）、（2）知＝3n對一切都成立。 ---------------------8分

（Ⅱ）∵＝3n,   ∴數列是首項為3，公差為3的等差數列,

∴.

  -------------------------10分

    == -------------------------------11分

∵對一切，恒成立,   ∴

∵在上為增函數 ∴ ---13分

，滿足的自然數為0，

∴滿足題設的自然數m存在，其值為0。 -------------------------14分