Question

（2013•東至縣一模）若直角坐標平面內M、N兩點滿足：
①點M、N都在函數f（x）的圖象上；
②點M、N關于原點對稱，則稱這兩點M、N是函數f（x）的一對“靚點”．
已知函數f(x)=

3x，x≤0 x-3，x＞0

則函數f（x）有

一

對“靚點”．

Answer 1

分析：根據“靚點”的定義可設y=x-3上任取一點M（x，y）（x＞0），則關于原點對稱的點為N（-x，-y），點N（-x，-y）在函數f（x）的圖象上，轉化成方程3-x=3^-x（x＞0）解的個數，然后轉化成y=3-x，y=3^-x（x＞0）的圖象的交點個數即可．

解答：解：設y=x-3上任取一點M（x，y）（x＞0）
則關于原點對稱的點為N（-x，-y），
根據“靚點”的定義可知點N（-x，-y）在函數f（x）的圖象上，
則f（-x）=3^-x=-y
∴

y=x-3 -y=3-x x＞0

即3-x=3^-x（x＞0）
方程3-x=3^-x（x＞0）解的個數可看成y=3-x，y=3^-x（x＞0）的圖象的交點個數
作出y=3-x，y=3^-x（x＞0）的圖象可知有且只有一個交點
故函數f（x）有一對“靚點”．
故答案為：一

點評：本題主要考查了新定義，以及函數圖象，同時考查了函數與方程的思想，屬于基礎題．