Question

如圖，已知三棱錐P-ABC的側面PAC是底角為45°的等腰三角形，PA=PC，且該側面垂直于底面，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，B₁C₁=3．
（1）求證：二面角A-PB-C是直二面角；
（2）求二面角P-AB-C的正切值；
（3）若該三棱錐被平行于底面的平面所截，得到一個幾何體ABC-A₁B₁C₁，求幾何體ABC-A₁B₁C₁的側面積．

Answer 1

分析：（1）欲證平面PAB⊥平面PBC，根據面面垂直的判定定理可知在平面PAB內一直線與平面PBC垂直，而根據題意可得PA⊥平面PBC，從而得到平面PAB⊥平面PBC，即二面角A-PB-C是直二面角；
（2）作DE⊥AB，E為垂足，則PE⊥AB，根據二面角平面角的定義可知∠PED是二面角P-AB-C的平面角，根據Rt△ADE～Rt△ABC可求出所求角的正切值；
（3）欲求幾何體ABC-A₁B₁C₁的側面積，而S_ABC-A1B1C1=

3

4

S_三棱錐，可分別求出三棱錐的三個側面面積即可．

解答：證明：（1）如圖，在三棱錐P-ABC中，取AC的中點D．
由題設知△PAC是等腰直角三角形，且PA⊥PC．
∴PD⊥AC．
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，
∵AC⊥BC∴PA⊥BC，∴PA⊥平面PBC，
∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC，
即二面角A-PB-C是直二面角．
解（2）作DE⊥AB，E為垂足，則PE⊥AB．
∴∠PED是二面角P-AB-C的平面角．
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，則AC=8，PD=4
由Rt△ADE～Rt△ABC，得DE=

BC•AD

AB

=

6×4

10

=

12

5

，
∴所求正切為tan∠PED=

PD

DE

=

5

3

．
（3）∵B1C=3=

1

2

BC∴A₁，B₁，C₁分別是PA，PB，PC的中點．
∴S△PAC=

1

2

×8×4=16，
S△PBC=

1

2

×6×4

2

=12

2

．
∵PE=

PD2+DE2

=

16+ 144 25

=

4

5

34

，
S△PAB=

1

2

×10×

4

5

34

=4

34

．
∴S_棱錐側=S△PAB+S△PBC+S△PCA=4

34

+12

2

+16，
∴幾何體ABC-A₁B₁C₁的側面積
S幾何體=

3

4

S棱錐側=3

34

+9

2

+12．

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及棱臺的側面積和表面積，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．