Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，3cosωx），ω＞0，設f（x）=

a

•

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）函數f（x）的圖象可由函數y=sin2x經過怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）根據兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，利用兩角和與差的正弦函數公式整理為一個角的正弦函數，根據周期為π，利用周期公式即可求出ω的值；
（2）根據正弦函數的遞增區間求出x的范圍，即可確定出f（x）的遞增區間；
（3）利用圖象平移及變換規律即可得到結果．

解答：解：（1）∵向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，3cosωx），ω＞0，
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx+3cos²ωx=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

=

3

sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，
∵T=

2π

|2ω|

=π，ω＞0，∴ω=1；
（2）f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（3）f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

的圖象由y=sin2x向右平移

π

6

個單位，y的值伸長

3

倍，再向上平移

3

2

個單位得到．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，平面向量的數量積運算，正弦函數的單調性，以及三角函數圖象的變換，熟練掌握公式是解本題的關鍵．