Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F為PD的中點.

（1）求證AFPC

（2）BD//平面PEC

（3）求二面角D-PC-E的大小

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）150°.

【解析】

（1）依題意，PA⊥平面ABCD．以A為原點，分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AF⊥PC．

（2）取PC的中點M，連接EM．推導出BD∥EM，由此能證明BD∥平面PEC．

（3）由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一個法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．

（1）依題意，平面ABCD，如圖，以A為原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系。

依題意，可得

A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4,0,0），

P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）

∵，，

∴，∴..

（2）取PC的中點M，連接EM.

∵，，

∴，∴.

∵平面PEC，平面PEC，

∴BD//平面PEC.

（3）因為AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P，

所以AF⊥平面PCD，故為平面PCD的一個法向量．

設平面PCE的法向量為，

因為，，

所以即

令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故．

所以，

所以二面角D﹣PC﹣E的大小為．