Question

下列命題中所有正確序號為

①②③④

①在△ABC中，若sinA＞sinB，則cosA＜cosB；
②若b²-4c≥0，則函數y=log2(x2+bx+c)的值域為R
③如果一個數列{a_n}的前n項和Sn=abn+c，(a≠0，b≠1，c≠1)則此數列是等比數列的充要條件是a+c=0
④設命題p：1-

1

2x-1

＜0，命題q：-x ²+（2a+1）x-a（a+1）＞0，若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍0≤a≤

1

2

．

Answer 1

分析：根據正弦定理和余弦函數在（0，π）是減函數，能推導出①正確；根據對數函數的性質能推導出②正確；根據等比數列的通項與性質，結合已知S_n求的a_n方法，通過正反論證可得③正確；根據命題的必要不充分條件和不等式的性質能判斷出④正確．

解答：解：對于①：在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B，
由余弦函數在（0，π）是減函數，故有cosA＜cosB，故①正確；
對于②：若b²-4c≥0，則x²+bx+c能取得所有正數，
∴函數y=log2(x2+bx+c)的值域為R，故②正確；
對于③：數列{a_n}的前n項和S_n=abⁿ+c
可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1）
當n=1時，a₁=S₁=ab+c
接下來討論充分性與必要性
若a+c=0，則ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得數列的通項為a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1
∴數列{a_n}構成以a（b-1）為首項，公比為b的等比數列．故充分性成立；
反之，若此數列是等比數列，得
∵當n≥2時，a_n=ab^n-1（b-1），公比為b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc⇒b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，故③正確；
④∵命題p：1-

1

2x-1

＜0，
∴￢P：

2x-2

2x-1

≥0，即x≥1，或x＜

1

2

；
∵命題q：-x ²+（2a+1）x-a（a+1）＞0，
∴￢q：（x-a）[x-（a+1）]≥0，即x≥a+1，或x＜a．
∵￢p是￢q的必要不充分條件，
∴

a≤ 1 2 a+1≥1

，解得實數a的取值范圍0≤a≤

1

2

．
故④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意三角函數、對數函數、數列、不等式等知識點的合理運用．