Question

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列. 若,且當(dāng)時,有; 又,,且對任意恒成立. 數(shù)列滿足:.

(1) 求數(shù)列及的通項公式;

(2) 求數(shù)列的前項和；

(3) 證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

(1)，， (2) 當(dāng)時，．這時數(shù)列的前項和， (3) 存在，使得對任意均成立

解析:

(1) 由得： .因為是正整數(shù)列,所以.于是是等比數(shù)列.  又,, 所以 .                              

因為 ,所以,于是:,說明是以2為公比的等比數(shù)列. 所以

因為, 由題設(shè)知： ，解得：。

又因為且，所以。

于是。

(2) 由得：.由及得：

設(shè)                ①

　　　　　　　　②

當(dāng)時，①式減去②式, 得

于是,

這時數(shù)列的前項和．

當(dāng)時，．這時數(shù)列的前項和．

(3) 證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：

　　　　                ③

由知，要使③式成立，只要，

因為

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對任意均成立．