Question

設a和b分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，且隨機變量ξ表示方程ax²+bx+1=0的實根的個數（相等的兩根算一個根）．
（1）求方程ax²+bx+1=0無實根的概率；
（2）求隨機變量ξ的概率分布列；
（3）求在先后兩次出現的點數中有4的條件下，方程ax²+bx+1=0有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的所有事件根據分步計數原理知是36，滿足條件的事件：方程無實根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a，通過列舉法得到所包含的基本事件個數，利用古典概型的概率公式求出值．
（2）由題意知實根的個數只有三種結果，0、1、2，根據上一問的計算可以寫出當變量取值時對應的概率，寫出分布列．
（3）利用古典概型的概率公式求出事件“先后兩次出現的點數中有4”的概率，利用條件概率的概率公式求出方程ax²+bx+1=0有實根的概率．

解答：解：基本事件總數為：6×6=36
（1）若方程無實根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a
若a=1，則b=1，
若a=2，則b=1，2
若a=3，則b=1，2，3
若a=4，則b=1，2，3
若a=5，則b=1，2，3，4
若a=6，則b=1，2，3，4
∴目標事件個數為1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax2+bx+1=0有實根的概率為

17

36

…（6分）
（2）由題意知，ξ=0，1，2，
則P(ξ=0)=

17

36

，P(ξ=1)=

2

36

=

1

18

，P(ξ=2)=

17

36

，
故ξ的分布列為

（3）記“先后兩次出現的點數中有4”為事件M，
“方程ax²+bx+1=0有實根”為事件N，則
P(M)=

11

36

，P(MN)=

5

36

，P(N/M)=

P(MN)

P(M)

=

5 36

11 36

=

5

11

…（4分）

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和古典概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點，本題考查一元二次方程的解．