Question

已知函數y=f（x），對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+m，則函數g（x）=f（x）+m+3ln

e

，x∈[-1，1]的最大值與最小值之和是______．

Answer 1

∵函數y=f（x），對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+m，
∴令x=y=0時，f（0）=f（0）+f（0）+m，
∴f（0）=-m，
令y=-x時，f（0）=f（x）+f（-x）+m，
∴f（x）+f（-x）=-2m，
令h（x）=f（x）+m，則h（x）+h（-x）=0即h（x）為奇函數，
奇函數的圖象關于原點對稱，它的最大值與最小值互為相反數，
設h（x）在[-1，1]的最大值為M，則h（x）在[-1，1]的最小值為-M，
∴函數g（x）在[-1，1]的最大值為3ln

e

+M，則g（x）在[-1，1]的最小值為3ln

e

-M，
∴函g（x）=f（x）+m+3ln

e

在[-1，1]的最大值與最小值之和為6ln

e

=3．
故答案為：3．