Question

【題目】已知函數f（x）=loga ，g（x）=1+loga（x﹣1），（a＞0且a≠1），設f（x）和g（x）的定義域的公共部分為D，
（1）求集合D；
（2）當a＞1時．若不等式g（x﹣ ）﹣f（2x）＞2在D內恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，當[m，n]D時，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，若存在，求實數a的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為：

＞0，

∴x＞3或x＜﹣3；

g（x）的定義域為：

x﹣1＞0，

∴x＞1，

∴集合D為（3，+∞）

（2）解：1+loga（x﹣ ）﹣loga ＞2，

∴loga ＞1，

∴a＜ ，

設h（x）= ，t=2x﹣3，

∴g（t）= = （t+ ）+ ，

∴g（t）＞g（3）= ，

∴1＜a≤

（3）解：f（x）=loga（1﹣ ），μ（t）=1﹣ 在（3，+∞）上遞增，μ（3）=0，

當a＞1時，f（x）在3，+∞）上遞增，g（x）在3，+∞）上遞增，

當m＜n時，g（m）＜g（n），不合題意，舍去；

當0＜a＜1時，f（x）在3，+∞）上遞減，g（x）在3，+∞）上遞減，

由f（m）=g（m），f（n）=g（n），

∴m，n是f（x）=g（x）的兩根，

∴ =a（x﹣1），

∴ax2+（2a﹣1）x﹣3a+3=0，

∴m+n＞6，mn＞9，

∴a＜ ，

又m+n＞2 ，

∴a＜ 或a＞ ，

又△＞0，（2a﹣1）2﹣4a（3﹣3a）＞0

∴a＜ 或a＞ ，

∴0＜a＜

【解析】（1）利用對數函數的定義求定義域即可；（2）整理不等式得a＜ ，構造函數g（t）= = （t+ ）+ ，求出g（t）的最小值；（3）對參數a進行分類討論，當a＞1時，f（x）在3，+∞）上遞增，g（x）在3，+∞）上遞增，不合題意，舍去；
當0《a＜1時，f（x）在3，+∞）上遞減，g（x）在3，+∞）上遞減，構造m，n是f（x）=g（x）的兩根，利用二次方程有解求出a的范圍．