Question

已知數列是各項均為正數的等差數列，公差為d（d 0）．在之間和b,c之間共插入個實數，使得這個數構成等比數列，其公比為q．
（1）求證：；
（2）若，求的值；
（3）若插入的n個數中，有s個位于a,b之間，t個位于b,c之間，且都為奇數，試比較s與t的大小，并求插入的n個數的乘積（用表示）.

Answer 1

解：（1）由題意知，，         
又，可得，         ………………………………2分
即，故，又是正數，故．………………………………4分
（2）由是首項為1、公差為的等差數列，故，
若插入的這一個數位于之間，則，，
消去可得，即，其正根為．………7分
若插入的這一個數位于之間，則，，
消去可得，即，此方程無正根．
故所求公差．　　　　　　　　 　………………………………………9分
（3）由題意得，，又，
故，可得，又，
故，即．
又，故有，即．　 　………………………………………12分
設個數所構成的等比數列為，則，
由…，，可得
……， ……………………14分
又，，
由都為奇數，則q既可為正數，也可為負數，
①若q為正數，則…，插入n個數的乘積為；
②若q為負數，…中共有個負數，
故…，所插入的數的乘積為．
所以當N*)時，所插入n個數的積為；
當N*）時，所插入n個數的積為． …………………18分
（另法：由又，，
由都為奇數，可知是偶數，q既可為正數也可為負數．
……　        
①若q為正數，則…，
故插入n個數的乘積為；                       …………………15分
②若q為負數，由是偶數，可知的奇偶性與的奇偶性相同，
可得…．
所以當N*)時，所插入n個數的積為；
當N*）時，所插入n個數的積為．　…………………18分）

略