Question

已知曲線C：f(x)＝x²，C上點A、A_n的橫坐標分別為1和a_n(n∈N*)，且a₁＝5，．記區間D_n＝[1，a_n](a_n＞1)．當x∈D_n時，曲線C上存在點P_n(x_n，f(x_n))，使得點P_n處的切線與直線AA_n平行．

(Ⅰ)試證明：數列{log_a(x_n－1)＋1}是等比數列；

(Ⅱ)當對一切恒成立時，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)記數列{a_n}的前n項和為S_n，當a＝時，試比較S_n與n＋7的大小，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由點的切線與直線平行條件可知，，　　　　2分 　　由可知：， 　　則，設，則， 　　又，因此數列是以為首項，2為公比的等比數列，即是等比數列．　　　　2分 　　則， 　　即，則; 　　(Ⅱ)由條件可知：，　　3分 　　由知，即，則， 　　即．　　　　2分; 　　(Ⅲ)數列的前n項和Sn，當時，＝1＋8